Complément :

• Pour faire la preuve que la norme de Frobenius est une norme, le caractère défini positif et l’homogénéité posent le moins de problème.
• En revanche, pour l’inégalité triangulaire, il faut utiliser la formule sous forme de somme, développer les termes, puis utiliser une inégalité de Cauchy-Schwarz sur la somme mixte, puis reconnaître les carrés des normes de Frobenius des deux matrices sommées. Une subtilité piégeuse peut être l’utilisation de l’inégalité de Cauchy-Schwarz : ici, il faut voir large et prendre la somme sur les deux indices en même temps.
• Si ces quelques indications ne vous suffisent pas, vous pouvez vous rendre sur le site de ressources de LaDataScience pour télécharger des éléments de preuve plus détaillés.

On peut facilement se demander à quoi sert cette norme.

D’abord, on remarque qu’elle est équivalente à transformer la matrice en un très long vecteur et à utiliser la norme euclidienne sur ce très long vecteur.

Ensuite, en pratique, elle permet de majorer facilement la constante de Lipschitz d’une matrice.

C’est véritablement une mesure qui permet de mesurer l’amplitude des coefficients d’une matrice et de sa capacité à propager des perturbations. Même si cette norme de Frobenius reste grossière, elle a principalement pour elle l’avantage d’être facile à calculer.